Линейная модель может быть как с константой, так и без константы. Тогда в этом представлении первый фактор либо равен единице, либо является обычным фактором соответственно. Различие между линейными уравнениями, которые мы составили, и нейронной сетью — функция активации (например, сигмоида, tanh, ReLU или других). Рассмотрим приведенный ниже рисунок, который использует две визуализации средней квадратичной ошибки в диапазоне, где наклон m находится между -2 и 4, а b между -6 и 8.
В статистике при записи линейной регрессии используются другие буквы (это ещё одна конвенция). И последнее, что тут стоит сказать — на практике коэффициент детерминации редко превышает 8%. Суть такая — для каждой точки на графике мы измеряем расстояние по оси y до каждой проведённой линии. Кратко напомним, что если подставить разные значения x, то мы вычислим разные значения y — и если разложить точки по оси координат и соединить, то получится прямая линия (при условии, что k и b не меняются).
- Линейная регрессия широко используется в различных областях для различных приложений.
- И, как и прежде, наша цель — найти самую нижнюю часть этой чаши, объективно наименьшее значение, которое функция потерь может иметь в отношении выбора параметров и набора данных.
- Поскольку мы пытаемся минимизировать MSE, наша цель — выяснить, где находится самая низкая точка в чаше.
- R-квадрат измеряет долю дисперсии зависимой переменной, которую можно объяснить независимыми переменными, что дает представление об объяснительной силе модели.
- В этом случае мы вынуждены использовать многошаговый численный метод, чтобы прийти к решению.
Уравнение линейной регрессии
Во-вторых, остатки или различия между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями должны быть нормально распределены. Кроме того, решающее значение имеет гомоскедастичность, а это означает, что дисперсия остатков должна оставаться постоянной на всех уровнях независимой переменной (переменных). Наконец, между независимыми переменными не должно быть мультиколлинеарности, поскольку это может исказить результаты и затруднить определение индивидуального эффекта каждого предиктора. Несмотря на широкое распространение, линейная регрессия имеет несколько ограничений, которые аналитикам следует учитывать. Одним из существенных ограничений является его чувствительность к выбросам, которые могут непропорционально влиять на наклон линии регрессии и приводить к ошибочным результатам.
RRNCB — первый российский открытый бенчмарк для оценки RAG-моделей
И, как и прежде, наша цель — найти самую нижнюю часть этой чаши, объективно наименьшее значение, которое функция потерь может иметь в отношении выбора параметров и набора данных. Остатки должны иметь постоянную дисперсию на каждом уровне независимой переменной. Это значит, что для каждого из значений независимой переменной уровень дисперсии остатков должен быть одинаковым. 🔍 Метод наименьших квадратов — такой способ проведения регрессионной линии, чтобы сумма квадратов отклонений отдельных значений зависимой переменной от неё была минимальной. Эта нелинейность означает, что параметры не действуют независимо друг от друга, влияя на форму функции потерь. Вместо того, чтобы иметь форму чаши, функция потерь нейронной сети более сложна.
То есть, мы найдём x для каждого уравнения и сравним их между собой. Чем он выше, тем лучше наша модель объясняет изменчивость зависимой переменной. Однако у нас много комбинаций, поэтому нам нужно сравнить линии (шаг 3) и найти такую, которая бы одновременно минимизировала разницу в предсказанных и фактических значениях для всех комбинацией значений.
Фреймворк TreeQuest: адаптивные команды LLM превосходят отдельные модели на 30%
Линейная регрессия — это фундаментальный статистический метод, используемый для моделирования взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. Это тип метода прогнозного моделирования, который линейная регрессия это предполагает линейную связь между входными переменными (признаками) и единственной выходной переменной. Основная цель линейной регрессии — найти наиболее подходящую прямую линию через точки данных, которая минимизирует сумму квадратов различий между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными моделью. Этот метод широко используется в различных областях, включая экономику, биологию, инженерию и социальные науки, благодаря своей простоте и интерпретируемости. Чтобы линейная регрессия давала надежные и достоверные результаты, необходимо выполнить несколько ключевых предположений.
- Собственно, эта линия и есть линейная регрессия — описание соответствия между случайными переменными.
- Если взаимосвязь нелинейная, более подходящими могут оказаться альтернативные методы моделирования, такие как полиномиальная регрессия или нелинейная регрессия.
- 🔍 Дисперсия остатков регрессии — сумма квадратов разниц между фактическими и предсказанными линейной регрессией значениями зависимой переменной.
Persimmon-8B: открытая модель с длиной контекста 16k токенов, работающая на одном GPU
Простота, интерпретируемость и универсальность делают его важным инструментом для аналитиков и исследователей в различных областях. Предельные (асимптотические) свойства оценок нелинейных моделей также выводятся исходя из аппроксимации последних линейными моделями. С эконометрической точки зрения более важное значение имеет линейность по параметрам, чем линейность по факторам модели. RSS — расшифровывается как Residual Sum of Squares (сумма квадратов остатков регрессии) — так дисперсия остатков регрессии называется в англоязычной литературе. Добавление измерений, на первый взгляд, ужасное усложнение проблемы, но оказывается, постановка задачи остается в точности одинаковой в 2, 3 или в любом количестве измерений. Существует функция потерь, которая выглядит как чаша — гипер-чаша!
Метод наименьших квадратов
Кроме того, линейная регрессия предполагает линейную связь между переменными, что не всегда может иметь место в реальных сценариях. Если взаимосвязь нелинейная, более подходящими могут оказаться альтернативные методы моделирования, такие как полиномиальная регрессия или нелинейная регрессия. Более того, линейная регрессия не учитывает взаимодействия между независимыми переменными, если они явно не включены в модель, что потенциально упускает из виду важные взаимосвязи. Оценка эффективности модели линейной регрессии необходима для обеспечения ее эффективности и надежности.
Общие метрики, используемые для этой цели, включают R-квадрат, скорректированный R-квадрат, среднюю абсолютную ошибку (MAE) и среднеквадратическую ошибку (RMSE). R-квадрат измеряет долю дисперсии зависимой переменной, которую можно объяснить независимыми переменными, что дает представление об объяснительной силе модели. Скорректированный R-квадрат корректирует значение R-квадрата на основе количества предикторов в модели, предлагая более точную оценку, когда задействовано несколько переменных. 🔍 Дисперсия остатков регрессии — сумма квадратов разниц между фактическими и предсказанными линейной регрессией значениями зависимой переменной. Линейная регрессия широко используется в различных областях для различных приложений. В финансах ее можно использовать для прогнозирования цен на акции на основе исторических данных и экономических показателей.
Но она может быть, и чтобы убедиться в этом, нужно построить линейную регрессию. Это значение, которое принимает y в том случае, если x равен нулю. В этом нам поможет уравнение линейной функции (привет, шестой класс). Статистические тесты, о которых мы говорили до этого (T-тест, ANOVA и другие) в основном проверяли связь не больше, чем между двумя переменными одновременно. Довольно очевидно, что первые две линии не соответствуют нашим данным. Формально нам нужно выразить, насколько хорошо подходит линия, и мы можем это сделать, определив функцию потерь.
Когда есть только один или два параметра для решения, это может быть сделано вручную, и его обычно преподают во вводном курсе по статистике или линейной алгебре. Не должно быть существенных переменных, которые при этом не включены в модель. Они могут оказывать значительное влияние на переменные, которые учтены в модели, что опять же делает результаты нестабильным. Мультиколлинеарность приводит к неустойчивости коэффициентов модели. Конкретные результаты могут сильно различаться в зависимости от выборок, что делает модель неспособной пройти проверку на другой выборке из той же генеральной совокупности. Проще говоря, оказывается, что модель, которая может казаться точной, на самом деле оказывается неверной.
Часто все три события происходят одновременно (так как они взаимосвязаны), поэтому обычно легко понять стоит исключить из модели переменную или нет. Набор данных, который мы используем в этом и следующем параграфе, содержит переменные с этими характеристиками. Теперь давайте разберемся, как мы можем использовать несколько переменных одновременно. Разница между фактическими и предсказанными значениями может быть положительной (предсказанное значение меньше фактического) или отрицательной (предсказанное больше фактического). Однако если мы просто просуммируем их, то отрицательные и положительные разницы будут компенсировать друг друга. Поэтому мы можем возвести эту разницу в квадрат, чтобы такого не происходило.
